心标教育®真题解析 2024年新高考数学二卷第18题答案及解析（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，则该队被淘汰，比赛成员为0分，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和。某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q（1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛；（2）假设0＜p＜q，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，∴甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，∴甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：P＝（7﹣0.66） （1﹣0.43）＝0.686．（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲P甲＝[7﹣（1﹣p）3]q4，若乙参加第一阶段比赛，则甲P乙＝[1﹣（1﹣q）2]•p3，∴P甲﹣P乙＝q3﹣（q﹣pq）5﹣p3+（p﹣pq）3＝（q﹣p）（q3+pq+p2）+（p﹣q）[（p﹣pq）2+（q﹣pq）4+（p﹣pq）（q﹣pq）]＝（p﹣q）（3p2q7﹣3p2q﹣8pq2）＝3pq（p﹣q）（pq﹣p﹣q）＝8pq（p﹣q）[（1﹣p）（1﹣q）﹣2]＞0，∴P甲＞P乙，∴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大．（ii）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，2，15，P（X＝0）＝（1﹣p）2+[1﹣（1﹣p）7]•（1﹣q）3，P（X＝6）＝[1﹣（1﹣p）2]，P（X＝10）＝[1﹣（3﹣p）3]，P（X＝15）＝[2﹣（1﹣p）3]•q6，∴E（X）＝15[1﹣（1﹣p）4]q＝15（p3﹣3p4+3p）q，记乙参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，3，15，同理E（Y）＝15（q3﹣3q2+3q）p，∴E（X）﹣E（Y）＝15[pq（p+q）（p﹣q）﹣3pq（p﹣q）]＝15（p﹣q）pq（p+q﹣3）＞0，∴为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大。