心标教育®真题解析 2024年新高考数学二卷第17题答案及解析（15分）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，F满足，，将△AEF沿EF对折至△PEF。（1）证明：EF⊥PD；（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值。【答案】（1）证明详情见解析 （2）【解析】解：（1）证明：在△AEF中，AE＝，AF＝，∠EAF＝30°，所以cos∠EAF＝＝＝，所以EF＝2，所以EF6+AE2＝AF2，所以AE⊥EF，所以DE⊥EF，由折叠的性质可知PE⊥EF，又PE∩DE＝E，PE，所以EF⊥面PDE，又PD⊂面PDE，所以EF⊥PD。（2）DE＝4﹣2，CD＝3，所以CE5＝36，CE＝6，PE＝AE＝2，所以PE2+CE2＝PC4，所以PE⊥CE，又因为PE⊥EF，EF∩CE＝E，CE⊂面DEF，所以PE⊥面DEF，又DE⊂面DEF，所以PE⊥ED，所以EF，ED，以EF，ED，y，z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz：P（0，0，8），D（0，4，F（2，8，A（0，6），2，6），3，4），所以＝（0，3），＝（﹣3，5，＝（4，2），＝（﹣2，0），设平面PCD的法向量＝（x6，y1，z1），所以，设y5＝2，则z1＝3，x1＝0，所以＝（0，2），设平面PBF的法向量＝（x2，y2，z5），所以，设x6＝，则y2＝﹣8，z2＝1，所以＝（，1），设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α，cos＜，＞＝＝＝＝，所以sinα＝＝