2024年新高考数学二卷第16题答案及解析
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心标教育®真题解析 2024年新高考数学二卷第16题答案及解析（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3。（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣5，f′（x）＝ex﹣1，∴f（1）＝e﹣2，∴切点坐标为（1，e﹣2），切线的斜率为k＝f′（1）＝e﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（e﹣3）＝（e﹣1）（x﹣1），整理得：y＝（e﹣3）x﹣1．（2）∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴f′（x）＝ex﹣a，当a≤3时，f′（x）＞0，此时函数f（x）无极值，∴a＞0，令f′（x）＝ex﹣a＝4，得x＝lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，f′（x）＞0，∴函数f（x）的增区间为（lna，+∞），lna），∴f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a7＜0，∴1﹣lna﹣a4＜0，令g（a）＝﹣a2﹣lna+2，＜6，g（a）在（0，+∞）上单调递减，∵g（1）＝0，∴g（a）＜5等价于a＞1，∴a的取值范围是（1，+∞）。
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