2024年新高考数学1卷第19题答案及解析（17分）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列。（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞。【答案】（1）（i，j）可以为（1，2），（1，6），（5，6）。（2）证明见解析。（3）证明见解析。【解析】解：（1）根据题意，可得当（i，j）取（1，2）时，可以分为a3，a4，a5，a6一组公差为d的等差数列，当（i，j）取（1，6）时，可以分为a2，a3，a4，a5一组公差为d的等差数列，当（i，j）取（5，6）时，可以分为a1，a2，a3，a4一组公差为d的等差数列，所以（i，j）可以为（1，2），（1，6），（5，6）；（2）证明：当m＝3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，可以分为a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三组公差为3d的等差数列，所以m＝3时符合题意；当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m+2去掉a2和a13后，前三组还按照m＝3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，后面的每四个相邻的项分为一组，即a15，a16，a17，a18；...；a4m﹣1，a4m，a4m+1，a4m+2，每一组都能构成等差数列，所以数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）证明：设在给定m的情况下，（i，j）的组数为bm，当m变成m+1时，数列就变成了a1，a2，a3，a4，a5，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6，这里可以分成3组，前4个一组即{a1，a2，a3，a4}，中间的一组，后4个一组即{a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：一、两个都在中间中间有4m﹣2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为bm﹣1种；二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组第一组和中间组连起来，会变成4m+2个数的等差数列，这里面总共有bm种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有bm﹣bm﹣1种；三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组和上面一样，也是共有bm﹣bm﹣1种；四、一个在第一组，一个在最后一组此时，将a1，a4m+6同时删除是肯定可以的，这算一种；然后，从（2）的结果来看，把a2，a4m+5同时删除也是可以的，因为m＝3成立之后，当m＞3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种．综上，就会有bm+1≥bm﹣1+2（bm﹣bm﹣1）+2＝2bm﹣bm﹣1+2，bm+1﹣bm﹣（bm﹣bm﹣1）≥2，可得bm+1﹣bm≥2m+2，即有b2﹣b1≥2×1+2，b3﹣b2≥2×2+2，……bm﹣bm﹣1≥2（m﹣1）+2，累加可得bm﹣b1≥2×（1+2+3+…+m﹣1）+2（m﹣1），即bm≥m2+m+1，因为b0＝0，b1＝3，所以bm≥m2+m+1，如果你是随便删除，总共有＝8m2+6m+1种，所以Pm＝≥＞。