2024年新高考数学1卷第17题答案及解析
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2024年新高考数学1卷第17题答案及解析（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝。（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，求AD。【答案】（1）证明详情见解析（2）AD＝【解析】解：（1）证明：因为PA⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，又AB⊂面PAB，所以AD⊥AB，在△ABC中，AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC，又因为BC⊂面PBC，AD⊄面PBC，所以AD∥面PBC．（2）以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz：令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝，C（0，，0），设平面ACP的法向量＝（x1，y1，z1），所以，设x1＝，则y1＝t，z1＝0，所以＝（，t，0），设平面CPD的法向量为＝（x2，y2，z2），所以，设z2＝t，则x2＝﹣2，y2＝0，所以＝（﹣2，0，t），因为二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，所以＝|cos＜，＞|＝|＝，所以t＝，所以AD＝
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