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2024年新高考数学1卷第18题答案及解析

浏览: 次     更新于:2024-09-18

2024年新高考数学1卷第18题答案及解析

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2024年新高考数学1卷第18题答案及解析(17分)已知函数f(x)=ln+ax+b(x﹣1)3。(1)若b=0,且f′(x)≥0,求a的最小值;(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(3)若f(x)>﹣2当且仅当1<x<2,求b的取值范围。【答案】(1)﹣2(2)证明详情见解析(3)[﹣,+∞)【解析】解:(1)由,解得0<x<2,所以函数f(x)的定义域为(0,2),当b=0时,,所以,对∀0<x<2恒成立,又,当且仅当x=1时取“=”,所以只需2+a≥0,即a≥﹣2,所以a的最小值为﹣2。(2)证明:x∈(0,2),f(2﹣x)+f(x)=,所以f(x)关于点(1,a)中心对称。(3)因为f(x)>﹣2当且仅当1<x<2,所以x=1为f(x)=﹣2的一个解,所以f(1)=﹣2,即a=﹣2,先分析1<x<2时,f(x)>﹣2恒成立,此时f(x)>﹣2,即为ln+2(1﹣x)+b(x﹣1)3>0在(1,2)上恒成立,设t=x﹣1,t∈(0,1),则ln﹣2t+bt3>0在(0,1)上恒成立,设g(t)=ln﹣2t+bt3,t∈(0,1),则g′(t)=﹣2+3bt2=,当b≥0时,﹣3bt2+2+3b>﹣3b+2+2b=2>0,所以g′(t)>0恒成立,所以g(t)在(0,1)上为增函数,所以g(t)>g(0)=0,即f(x)>﹣2在(1,2)上恒成立,当﹣≤b<0时,﹣3bt2+2+3b>2+3b≥0,所以g′(t)>0恒成立,故g(t)在(0,1)上为增函数,故g(t)>g(0)=0,即f(x)>﹣2在(1,2)上恒成立,当b<﹣,即当0<t<<1时,g′(t)<0,所以在(0,)上g(t)为减函数,所以g(t)<g(0)=0,不合题意,舍去,综上所述,f(x)>﹣2在(1,2)上恒成立时,b≥﹣,而b≥﹣时,由上述过程可得g(t)在(0,1)单调递增,所以g(t)>0的解为(0,1),即f(x)>﹣2的解为(1,2),综上所述,b≥﹣,所以b的取值范围为[﹣,+∞)。
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