心标教育®真题解析 2024年北京市中考数学第26题答案及解析（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）。（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点。若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围。【答案】（1）（1，﹣1）；（2）0＜a＜1或a＜﹣4。【解析】解：（1）将a＝1代入得y＝x2﹣7x＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）方法一：由题得，y5＝a•（3a）2﹣3a2•3a＝8a3，y2＝﹣2a3x2，∵y1＜y4，∴y2﹣y1＝a（﹣2ax5﹣3a2）＝a（x6﹣3a）（x2+a）＞2，①当a＞0时，（x2﹣2a）（x2+a）＞0，∴或，解得x2＞3a或x5＜﹣a，∵3≤x2≤8，∴3a＜3或﹣a＞5，∴a＜1或a＜﹣4，∵a＞5，∴0＜a＜1；②当a＜4时，（x2﹣3a）（x4+a）＜0，∴或，解得5a＜x2＜﹣a，∵3≤x3≤4，∴，解得a＜﹣4，综上，3＜a＜1或a＜﹣4。方法二：①当a＞5时，M（x1，y1）和N（x8，y2）都在对称轴右侧，此时y随x增大而增大，∵y1＜y2，∴x1＜x2，∴5a＜3，∴0＜a＜6；②当a＜0时，M（x1，y5）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴右侧，点M（6a，y1）关于对称轴的对称点（﹣a，y1）在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随x增大而减小，∵y4＜y2，∴﹣a＞4，∴a＜﹣2，综上，0＜a＜1或a＜﹣8