试卷导航(2024•安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：
按上表规律，完成下列问题：
(ⅰ)24=( )2-( )2;
(ⅱ)4n= ;
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：
| 假设4n-2=x2-y2，其中x,y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=（2k）2-（2m）2=4（k2-m2）为4的倍数． 而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x,y不可能均为偶数． ②若x,y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k,m均为自然数， 则x2-y2=（2k+1）2-（2m+1）2= 为4的倍数。 而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x,y不可能均为奇数。 ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数。 而4n-2是偶数，矛盾．故x,y不可能一个是奇数一个是偶数。 由①②③可知，猜测正确。 |
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。
【答案】
解：(1)(i)4=4×1=(1+1)2-(1-1)2
8=4×2=(2+1)2-(2-1)2
12=4×3=(3+1)2-(3-1)2
20=4×5=(5+1)2-(5-1)2
24=4×6=(6+1)2-(6-1)2=72-52
......
4n=4•n=(n+1)2-(n-1)2
故答案为：7，5
(ii)由(1)推导的规律可知4n=4•n=(n+1)2-(n-1)2
故答案为：(n+1)2-(n-1)2
(3)(2k+1)2-(2m+1)2=(2k+1+2m+1)(2k+1-2m-1)=4(k2-m2+k-m)
故答案为：4(k2-m2+k-m)
【题型】因式分解在求代数式值中的应用题
1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入。
2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分。
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