2023学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷（时间100分钟 满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）．【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列抛物线中，对称轴为直线false的抛物线的表达式是（ ）A. falseB. falseC. falseD. false2. 如图，在平面直角坐标系false中，点false，false与false轴正半轴的夹角为false，则false的值为（ ） A. falseB. falseC. falseD. false3. 下列两个三角形一定相似是（ ）A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形C. 两个等边三角形D. 两个面积相等的三角形4. 如图，已知平行四边形false对角线false和false交于点O，设false， false，那么向量false、false、false、false关于false、false的分解式中，下列结论正确的是（ ） A. falseB. falseC. falseD. false5. 进博会期间，从一架离地false米的无人机false上，测得地面监测点false的俯角是false，那么此时无人机false与地面监测点false的距离是（ ）A. false米B. false米C. false米D. false米6. 如图，点D是false内一点，点E在线段false的延长线上，false与false交于点O，分别连接false、false、false，如果false，那么下列结论正确的是（ ）A. false B. falseC. falseD. false二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：false______．8. 已知点false是线段false的黄金分割点false，如果false，那么false的长是______．9. 已知false，如果它们对应高的比false，那么false和false的面积比是_______．10. 在false中，点false、false分别在边false、false上，如果false，false，false，false，那么false的长是______．11. 如图，false，如果false，false，false，那么false的长是______． 12. 如图，在false中，false，false于D，如果false和false的面积比为false，false，那么false的长是_______．13. 如图，一段东西向的限速公路false长false米，在此公路的南面有一监测点false，从监测点false观察，限速公路false的端点false在监测点false的北偏西false方向，端点false在监测点false的东北方向，那么监测点false到限速公路false的距离是______米（结果保留根号）．14. 将抛物线false向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接false如果false是等边三角形，那么点B的坐标是_______．15. 如图，在false中，false和false是false的高，且交于点false，已知false，false，false，那么false的正切值是______．16. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即false里)，出西门往前直走2里到B处(即false里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是_______里．17. 在false中，false，false，如果将false绕着点false旋转，使得点false落在边false上，此时，点false落在点false处，连接false，那么false的长是______．18. 如图，在false中，false，false，如果点false在false内部，且满足false，那么false的长是______．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19. 已知：false．（1）求代数式false的值；（2）当false时，求a、b的值．20. 已知抛物线false与y轴交于点C，与x轴交于点false和点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）连接false、false，求false的余弦值．21. 如图，在梯形false中，false，false平分false，false，false．（1）求false的长；（2）设false，false，求向量false（用向量false、false表示）．22. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡false，首先在斜坡false的底端false测得高楼顶端false的仰角是false，然后沿斜坡false向上走到false处，再测得高楼顶端false的仰角是false，已知斜坡false的坡比是false，斜坡false的底端false到高楼false底端false的距离是false米，且false、false、false三点在一直线上false如图所示false．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼false的高度；（2）求点false离地面的距离false结果精确到false米false．(参考数据：false，false，false，false)23. 如图，false中，点false在边false上，false．（1）求证：false；（2）当点false是边false的中点时，分别延长false、false交于点false，求证：false．24. 如图，在平面直角坐标系false中，第二象限点false在抛物线false上，点false到两坐标轴的距离都是false．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线false先向右平移false个单位，再向下平移false个单位后，所得新抛物线与false轴交于点false和点false，已知false，且false，与false轴负半轴交于点false．①求false的值；②设直线false与上述新抛物线的对称轴的交点为false，点false是直线false上位于点false下方的一点，分别连接false、false，如果false，求点false的坐标．25. 如图，在false中，false，false，点false是边false上的动点（点false不与点false重合），以false为斜边在直线false上方作等腰直角三角形false．（1）当点false是边false的中点时，求false的值；（2）false，点false在边false上运动的过程中，false的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出false的大小；（3）设false与false的交点为false，点false是边false上的一点，且false，如果点false到直线false的距离等于线段false的长度，求false的面积．