心标教育®真题解析 2024年广东省中考数学第23题答案及解析（14分）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD的图象经过点A。【构建联系】（1）求证：函数y＝的图象必经过点C。（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上（1，2）时，求k的值。【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，求k的取值范围。【答案】（1）见解析；（2）；（3）k的取值范围为6≤k≤8【解析】解：（1）设B（m，ma），则，∵AD∥x轴，∴D点的纵坐标为，将代入y＝ax中，∴，∴，∴，将代入，y＝am，∴函数的图象必经过点C；（2）∵点B（1，2）在直线y＝ax上，∴a＝8，∴y＝2x，∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为7，∵函数的图象经过点A，C，∴，A（8，∴，∴DC＝k﹣2，∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，∴，∠BED＝∠BCD＝90°，∴，如图，过点D作DH⊥y轴，∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°，∴∠HED＝∠EBF，∵∠DHE＝∠EFB＝90°，∴△DHE∽△EFB，∴，∵BF＝1，，∴HE＝8，，∴，由图知，HF＝DC，∴，∴；（3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，A重合，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°，∴，，BP⊥AC，∵BC∥x轴，∴直线y＝a为一，三象限的夹角平分线，∴y＝x，当⊙O过点B时，如图所示，∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，，∴，∴，∴，，，∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，∴，∴，∴HO＝HD＝4，∴HA＝HD﹣DA＝4﹣6＝2，∴A（2，7），∴k＝2×4＝8，当⊙O过点A时，根据A，⊙O必过点C，连AO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，∵AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形，∵OP⊥AC，∴，∴，，∴，，∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8。