心标教育®真题解析 2024年广东省中考数学第22题答案及解析（13分）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线。连接CD，得到△A′DC′。当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC。【数学理解】（2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线。连接CD，得到△A′DC′，连接A′B，作△A′BD的中线DF。求证：2DF•CD＝BD•CC′【拓展探索】（3）如图3，在△ABC中，tanB＝，AD＝。过点D作DE⊥BC，BE＝3，CE＝，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明，请说明理由。【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明详见解析；（3）存在，理由见解析。【解析】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠DEA＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCA，∴AB＝BC（2）证明：连接AA'，∵旋转，∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，∴，∴△ADA′∽△CDC′，∴，∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线，∴AD＝BD，BF＝A'F，∴DF是△AA'B的中位线，∴AA'＝2DF，∴，∴8DF•CD＝BD•CC'（3）解：存在，理由如下，解法一：取AD中点M，CE中点N，∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径，∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，∴∠AGD+∠CGE＝180°，∵tanB＝，BE＝6，∴BD＝5，∵CE＝，∴EN＝CE＝，∴BN＝BE+EN＝，∵DE⊥CE，∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外，作NF⊥AB，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°，∴△BDE∽△BNF，∴，∴NF＝＞，即NF＞rn，∴AB在⊙N外，∴G点在四边形ADEC内部。作MH⊥BC，∵BM＝，tanB＝，∴BH＝，MH＝，∴NH＝，∴MN＝≈7.2＜AM+CN∴⊙M和⊙N有交点。故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°。解法二：相似互补弓形，分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求。作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，连接OE，②作AD的中垂线，③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2，④以O7为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G证明：∵＝＝，∴△O5AD∽△OEC，∴∠AO2D＝∠EOC，∵∠AGD＝（360°﹣∠AO2D）＝180°﹣∠AO2D，∠EGC＝∠EOC，∴∠AGD+∠EGC＝180°故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°